Det här är en hel kurs om differentialekvationer samt fyra interaktiva verktyg för att bygga och utforska matematiska modeller. Tre av dem handlar om differentialekvationer och det fjärde om hur snäckor växer. Verktygen kräver ingen inloggning och ingen API-nyckel, utan allt körs direkt i webbläsaren.
Adressen är https://odeverktyg.netlify.app/. Där väljer du vilket verktyg du vill använda.
Kursen och verktygen är i första hand tänkta för gymnasiets högre matematikkurser, Matematik fördjupning eller Matematik specialicering, men den som läser envariabelanalys eller ordinära differentialekvationer på universitetet kan också ha nytta av dem.
Kursen
Kursen går igenom första och andra ordningens homogena och inhomogena differentialekvationer. Varje avsnitt har teori, simulering, övningar och exit ticket.
Labbet
I Flödeslabbet bygger du modellen själv. Du drar ut containrar på en yta, en för varje storhet som ändras med tiden, och drar sedan pilar mellan dem. På pilen skriver du hur snabbt det flödar, till exempel k*P., alltså proportionellt mot variabeln P. Okända symboler blir automatiskt parametrar som du kan ändra med reglage.
En pil kan vara ett flöde, som tar från en container och lägger i en annan, eller en påverkan, som bara ändrar målet. Medan diagrammet växer skrivs ekvationssystemet ut symboliskt, och grafen räknas om så fort du ändrar något. Det finns sju färdiga exempel att utgå från, bland annat smittspridning, rovdjur och byte och två kopplade kärl. Du kan spara modellen som en fil och öppna den igen senare.
Här ser eleven kopplingen mellan en bild av ett system och ekvationerna som beskriver det. Labbet är gjort för dator och fungerar dåligt i mobilen.
Direktadress är https://odeverktyg.netlify.app/labbet.html.
Ateljén
Differentialekvationsateljén är en katalog med 139 färdiga modeller i åtta kategorier. Den börjar med första ordningens ekvationer som radioaktivt sönderfall och kaffekoppen som svalnar. Sedan fortsätter den via svängningar och system hela vägen till Lorenzattraktorn och bifurkationer.
Varje modell visas symboliskt och med insatta värden. Där det finns en analytisk lösning visas även den. Du ändrar parametrarna med reglage och ser grafen förändras direkt. Beroende på modell finns också riktningsfält, fasplan och fasrum i 3D. Till varje modell hör en förklarande text.
Modellerna är märkta med nivå: gymnasiet, envariabelanalys eller överkurs. Du kan filtrera på nivå eller söka efter en modell. En del är klassiker, andra är mer oväntade, som dynastimodellen med bönder, banditer och härskare.
Direktadress är https://odeverktyg.netlify.app/ateljen.html.
Snäckorna
En snäcka växer utan att byta form. Varje nytt varv är en förstorad kopia av det förra, och kurvan som beskriver det är en logaritmisk spiral. Avståndet till mitten växer exponentiellt med vinkeln, vilket betyder att spiralen är en lösning till differentialekvationen dr/dθ = k·r. Så även här finns en differentialekvation, om än i det tysta.
Om du kombinerar spiralen med ett elliptiskt tvärsnitt och några vinklar går det att återskapa en rad verkliga skal i 3D. Verktyget innehåller 14 arter, från örsnäcka till ammonit, med parametervärden från J. Picados modell vid Atractor i Coimbra (https://www.atractor.pt/mat/conchas/). Du kan utforska fritt eller följa en guidad genomgång i elva steg med kontrollfrågor.
Direktadress är https://odeverktyg.netlify.app/shells.html.
Duellen
Slutscenen i Den gode, den onde och den fule är en duell mellan tre personer. Blondie, Angel Eyes och Tuco står på en kyrkogård och väntar på att någon ska dra. Vinnaren får den begravda guldskatten. Det Angel Eyes inte vet är att Blondie har tömt Tucos revolver. https://www.youtube.com/watch?v=aJCSNIl2Pls
I Duellen är scenen en dynamisk modell. Varje person har en nervositet inför de andra, en fördelning av sin uppmärksamhet och en beredskap att dra, och de beskrivs med kopplade differentialekvationer. När beredskapen når en tröskel tar händelseregler över, och någon drar, skjuter eller får ett klick. En sådan blandning av kontinuerlig förändring och plötsliga händelser kallas hybriddynamik.
Med filmens förutsättningar skjuter Blondie Angel Eyes medan Tucos revolver klickar, precis som i filmen. Det intressanta är vad som händer när du ändrar vem som vet vad, eller när du laddar Tucos revolver. Det är givetvis en leksaksmodell av en iscensatt scen och inte en psykologiskt validerad modell. Men den visar något som är svårt att visa med kaffekoppar. Differentialekvationer kan beskriva beteende.
Direktadress är https://odeverktyg.netlify.app/duel.html.
Om verktygen
Det här är inga perfekta verktyg. Modellerna är förenklingar gjorda för undervisning, och ibland är det just förenklingarna som är mest intressanta att diskutera med eleverna. Hittar du fel får du gärna höra av dig.
Verktygen är byggda i Claude Cowork med ett betalkonto. Precis som Faktakollen (https://gpt-handboken.se/2026/09/13/faktakollen/) ligger de inte på WordPress, utan är publicerade på Netlify.
